1. Свойства на пропорциите
2. Теорема на Талес
3. Обратна теорема на
Талес
4. Ъглополовяща в
триъгълник
5. Признаци за подобие на триъгълници
5.1. I признак (два ъгъла)
5.2. II признак (две страни и ъгъл)
5.3. III признак (три страни)
5.4. Признак за подобие на правоъгълни триъгълници
6. Свойства на подобните триъгълници
7. Допирателни и секущи в окръжност
8. Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник
9. Питагорова теорема
1. Свойства на пропорциите
- отсечките a, b, c и d са пропорционални, ако частното от дължините на a и b е
равно на частното от дължините на c и d.
равно на частното от дължините на c и d.
2. Теорема на Талес
-Ако успоредните прави m, n и p пресичат правите a и b съответно в точки А1, А2, А3, и В1, В2, В3, то
3. Обратна теорема на Талес
-Нека правите m и n пресичат раменете на ъгъл Opq съответно в точки A1,B1 и A2,B2
4. Ъглополовяща в триъгълник
Необходимото и достатъчно условие CL да е ъглополовяща (вътрешна или външна) на ъгъла при върха C в триъгълника ABC е AL:BL=AC:BC
Вътрешната ъглополовяща на ъгъл в
триъгълник дели срещулежащата страна на отсечки, отношението на които е равно на
отношението на съседните им страни в триъгълника.
Вътрешната ъглополовяща на ъгъл в
триъгълник дели срещулежащата страна на отсечки, отношението на които е равно на
отношението на съседните им страни в триъгълника.
5. Признаци за подобие на триъгълници
5.1. I признак (два ъгъла):
Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник,
то триъгълниците са подобни.
Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник,
то триъгълниците са подобни.
5.2. II признак (две страни и ъгъл):
Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.
Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.
5.3. III признак (три страни):
Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг риъгълник, то триъгълниците са подобни.
Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг риъгълник, то триъгълниците са подобни.
5.4. Признак за подобие на правоъгълни триъгълници:
Ако катет и хипотенуза от един правоъгърен триъгълник са съответно пропорзионални на катет и хипотенуза от друг правоъгърен триъгълник, то триъгълниците са подобни.
Ако катет и хипотенуза от един правоъгърен триъгълник са съответно пропорзионални на катет и хипотенуза от друг правоъгърен триъгълник, то триъгълниците са подобни.
6. Свойства на подобните триъгълници
-отсечки в подобни триъгълници. Ако два триъгълника са подобни:
Отношението на съответните височини е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на съответните ъглополовящи е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на съответните медиани е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на радиусите на описаните окръжности е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на на радиусите на вписаните окръжности е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на лицата на два подобни триъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобност.
Коефициент на подобност:
Отношението на съответните височини е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на съответните ъглополовящи е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на съответните медиани е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на радиусите на описаните окръжности е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на на радиусите на вписаните окръжности е равно на отношението на съответните страни.
Отношението на лицата на два подобни триъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобност.
Коефициент на подобност:
7. Допирателни и секущи в окръжност
Ако правите a и b през точка M пресичат окръжността k съответно в точки A, A1 и B, B1, а T е допирната точка на допирателната през точка M към окръжността k, то
8. Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник
В правоъгълен триъгълник ABC с катети AC=b и BC=a, хипотенуза AB=c, височина към хипотенузата CC1=hc и проекции на катетите върху хипотенузата AC1=b1 и BC1=a1 са изпълнени зависимостите:
9. Питагорова теорема
В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.